一、環（Ring）

定義：環是一個包含至少兩個基本運算（加法和乘法）的代數結構，它是一個非空集合R，其中定義了兩個二元運算：加法（+）和乘法（*）。加法運算：環中的加法運算滿足封閉性、結合律、交換律、存在零元素（加法單位元）和逆元素（對于每個元素a，都存在一個元素-b，使得a + b = 0）。乘法運算：環中的乘法運算滿足封閉性和結合律。但不一定滿足交換律，即環可以是非交換環。分配律：環滿足左分配律和右分配律，即對于任意元素a、b、c，有a * (b + c) = a * b + a * c 和 (a + b) * c = a * c + b * c。

二、域（Field）

定義：域是一個包含至少兩個基本運算（加法和乘法）的代數結構，它是一個非空集合F，其中定義了兩個二元運算：加法（+）和乘法（*）。加法運算：域中的加法運算滿足封閉性、結合律、交換律、存在零元素（加法單位元）和逆元素（對于每個元素a，都存在一個元素-b，使得a + b = 0）。乘法運算：域中的乘法運算滿足封閉性、結合律和交換律。分配律：域滿足左分配律和右分配律，即對于任意元素a、b、c，有a * (b + c) = a * b + a * c 和 (a + b) * c = a * c + b * c。乘法逆元素：域中的非零元素都有乘法逆元素，即對于每個非零元素a，都存在一個元素a^-1，使得a * a^-1 = 1。這意味著除0外的所有元素都有乘法逆元素。

三、環和域的區別

乘法交換性：環中的乘法不一定滿足交換律，即環可以是非交換環；而域中的乘法必須滿足交換律，即域是交換環。乘法逆元素：環中的元素不一定都有乘法逆元素，但域中的除0外的所有元素都有乘法逆元素。結論：域是一種更為特殊和更強大的代數結構，它在乘法運算上比環更加嚴格要求，所有域也是環，但并非所有環都是域。

延伸閱讀

域擴張

在抽象代數學中，域擴張是指在一個給定的域上添加一個新的元素，從而得到一個包含原始域的更大域的過程。域擴張在數論、代數幾何學和密碼學等領域有廣泛的應用。在域擴張中，我們可以利用一些基本的代數構造，如代數元、生成元和最小多項式，來描述和分析新域的性質。